GENB045 Математически анализ

Info

Записки от лекциите по “GENB045 Математически анализ”, водени от проф. д-р Марин Маринов.

Преговор

, когато е най-малката горна граница на - точна горна граница (супремум)
еквивалетно за

Принцип за непрекъснатост: Непразно множество от реални числа, което е ограничено отгоре, притежава точна горна граница.

Теорема 1 (Кантор)
Нека е дадена безкрайна редица крайни, затворени интервали .
Тогава съществува такова число , че , за всяко .

Теорема 2 (гъстота на рационалните и ирационалните числа)
Ако са две произволни реални числа, то съществува рационално число и ирационално число , такива, че и .

Логаритми

Основни елементарни функции

	0	30	45	60	90	120	135	150	180
	1				0		-		-1
	0				1				0
	0		1		-		-1		0
	-		1		0		-1		-

Свойства и равенства:

Допълнителни тригонометрични функции:

Периодичност: и

Обратни функции

Обратна функция на се нарича функцията , която , ако , .

Една функция е обратима, когато от следва .

примери:
е обратима, но - не е, т.к. , но .

Твърдение 1:
Нека е обратима функция с дефиниционна област и множество от значения . Тогава тя има обратна функция с дефиниционна област и множество от значния и са в сила равенствата:

Твърдение 2:
Ако е строго монотонна функция, то тя е обратима.

Взаимно обратими функции

бележка: при обратната функция и си “сменят” местата

Граници

Числови редици

Безкрайна числова редица се нарича множеството от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа от

• числото съпоставено на естественото число , се нарича -ти (общ) член на редицата, а - негов номер
• членовете на безкрайна числова редица записваме във вида

Основни граници

Теорема 1

Неравенства:

Свойства на границите

Непрекъснати функции

Непрекъснатост

Казваме, че е непрекъсната функция в точката , ако за всяко съществува такова , че за всяко , удовлетворяващо , е изпълнено .

Функция е непрекъсната, ако произволно малка промяна в нейната стойност може да бъде осигурена чрез ограничаване на нейния аргумент до достатъчно малки промени. ¹

За да бъде една функция непрекъсната в точка, тя трябва да бъде дефинирана в тази точка, нейната граница трябва да съществува в точката и стойността на функцията в тази точка трябва да е равна на стойността на границата в тази точка.²

Локални свойства

@TODO: Допълни от лекция №8.

Производни

Нека е определена в интервала и

• се нарича нарастване на аргумента
• се нарича нарастване на функцията в т
• се нарича диференчно частно

Производна на функцията в точката ще наричаме границата
(ако тя съществува).
Означения:

За да има производна функцията трябва да е непрекъсната в точката да съществува граница.

пример:

Таблични производни

Основни правила

при условие, че съществуват и

Ако и има за , то

Допирателна в точка

Нормала в точка

Производни на функции зададени с параметър

Нека и , тогава

като e производната на , a е производната на .

Определяне на стойностите на и , така че да има производна

@TODO: Допълни от лекция, с примери.

Приложения на производни

Критични точки

Намираме производната на и я приравняваме към . Налагаме корените на уравнението на числова ос и избираме три числа за всеки интервал.

пример:

Екстрема на затворен интервал

• екстрема не може да е - endpoint на интервала
• намираме критичните точки попадащи в интервала
• използваме функцията, за да намерим y-кординатата на екстремумите
• ако - критичните точки са endpoints на интервала

Изпъкналост и инфлексни точки

• точка на инфлекция се намира между екстремумите
• намира се също като критичните точки, но се ипозлва

пример:

Точка на инфлекция:

Ако има:

• е нарастваща, а е положителна - изпъкнала
• е намаляща, а е отрицателан - вдлъбната
• - точка на инфлекция (смяна на изпъкналост/вдлъбнатост)

Правило на Лопитал

Правилото на Лопитал може да се използва за намиране на граници, когато метода “заместване” не е приложим (напр. знаменателя е 0).

Интеграл

Неопределен интеграл

Функцията наричаме примитивна на функцията върху интервала , ако за всяко е в сила .

Множеството от всички примитивни на функцията върху интервала се нарича неопределен интеграл от функцията върху .

Произволна примитивна на функцията ще означаваме с .

пример 1:

Функцията sin(x) е примитивна на функцията cos(x), защото

Теорема 1. Нека е примитивна на върху интервала . Тогава са в сила следните твърдения:

1. Ако е примитивна на върху интервала , то съществува такава константа , че , за всяко .
2. За произволна константа функцията е примитивна на върху интервала .

от пример 1 следва, че:

Таблични интеграли

Основни свойства

1. и
2. и

Следствие 1:

“внасяне под диференциала”

Изразът “внасяме под знака на дифернециала” означава, че заместваме с неговото равно , където е някоя от примитивите на .

С помощта на определението за диференциал, т.е. доказваме равенствата:

защото:

Забележка: В бъдеще, вместо ще пишем

Непосредствено интегриране

Някои интеграли могат да се решат като се придържаме към следната стратегия:

1. Чрез тъждествени преобразования представяме:

където и е функция, чиито интеграл е известен (например табличен интеграл), .
2. Прилагаме следствие 1.

пример:
Да пресметнем като се придържаме към следните етапи:

Интегриране чрез внасяне под интеграла

Теорема:
Нека функциите и удовлетворяват следните условия.

1. Функцията притежава примитивна върху интервала .
2. Функцията е диференцируема върху интервала и за всяко .
   Тогава:

Решаването на задачи с помощта на тази теорема може да се илюстрира по следния начин:

По-подробно описани стъпки

1. Представяме: като трябва да притежава примитивна. Нека
2. Внасяме под диференциала, т. е. заменяме с
3. Представяме като функция на , т.е. намираме такава функция , че
4. Сменяме променливите, като заменяме с новата променлива
5. Решаваме новия интеграл в променливата
6. В решението заменяме с
7. Ако функциите и удовлетворяват условията на теоремата по-горе, то получената функция е решение на задачата.

пример:
Ще намерим като се придържаме към описаната процедура:

Интегриране чрез смяна на променливата

пример:

пример:

Интегриране по части

Теорема:
Нека функциите и са диференцируеми върху интервала и функцията има примитивна върху . Тогава и функцията има примитивна върху интервала и е изпълнено:

при решаване на задачи е по-лесен следния запис:

пример:
При решаването на полагаме и . Използвайки последното равенство от теоремата по-горе:

Ще решим чрез смяна на променливата

Следователно

Определен интеграл

Нека е функция определена върху

• Разделяне на интервала се нарича всяко множество
• Интервалите , се наричат подинтервали на разделянето
• Числото наричаме норма на разделянето

Риманова сума

Риманова сума на функцията , съответстваща на разделянето и междинните точки наричаме числото

Числото наричаме граница на римановите суми на , когато за всяко съществува такова , че за произволно разделяне на с и произволни междинни точки c на разделянето е изпълнено

В този случай ще използваме означението

Функцията се нарича интегруема върху , ако съществува границата . Числото се нарича определен (риманов) интеграл на върху и се означава с

Ако е интегруема върху и , то

За всяко число от интервала

Стъпаловидната фигура има лице равно на римановата сума.

Теорема 1:
Ако функцията е интегруема върху интервала , то тя е ограничена.

Теорема 2:
Нека е монотонна функция върху крайния и затворен интервал . Тогава е интегруема върху .

Теорема 3:
Нека е непрекъсната функция върху крайния и затворен интервал . Тогава е интегруема върху .

• Следствие 1: Всяка елементарна функция е интегруема върху произволен краен и затворен интервал, съдържащ се в дефиниционната ѝ област.
• Следствие 2: Нека е частично непрекъсната върху крайния и затворен интервал (т.е. има най-много краен брой прекъсвания върху и те са от първи род). Тогава е интегруема.

Теорема 4:
Нека функциите и да удовлетворяват следните условия:

• Функцията е интегруема върху интервала
• Функцията е непрекъсната върху интервала
• За всяко от интервала е изпълнено
  Тогава функцията е интегруема върху

Адитивност на определения интеграл
Функцията е интегруема върху тогава и само тогава, когато е интегруема върху всеки от интервалите и

Линейност на определения интеграл
Нека и са интегруеми функции върху крайния интервал , а и са константи. Тогава функцията е интегруема върху [a; b] и

Нека функциите и са интегруеми върху интервала . Тогава функцията е интегруема върху .

Монотонност на определения интеграл
Нека функциите и са интегруеми върху . Тогава са в сила следните твърдения:
1. Ако завсяко от интервала и и са константи, то
2. Ако за всяко от интервала , то
3. Ако за всяко от интервала , то

Теорема 5: (Непрекъснатост)
Нека е интегруема функция върху и . Тогава функцията е непрекъсната върху интервала .

Теорема 6: (Диференцируемост)
Нека е интегруема функция върху и е непрекъсната в . Тогава функцията , () има производна в и .

Формула на Лайбниц и Нютон

Ако е непрекъсната върху и , ,то

Таблични интеграли

За произволна константа са в сила следните четири интеграла:

Правило за изчисляване на

1. Изчисляваме
2. Изчисляваме и
3. Отговор:

Footnotes

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function ↩

2. https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MTH_210_Calculus_I_(Professor_Dean)/Chapter_2_Limits/2.6%3A_Continuity ↩