GENB045 Математически анализ

x--- title: GENB045 Математически анализ enableToc: true tags:

• fundamentals
• calculus

---

Info

Записки от лекциите по “CSCB315 Аналитична геометрия”, водени от проф. д-р Марин Маринов.

Лекция №1 §

Наредба на реалните числа §

Максимум / Минимум §

, когато за , когато за

Горна граница на §

е горна граница на , когато за

Супремум (точна горна граница) §

, когато е най-малката горна граница на

Инфимум (точна долна граница) §

, когато е най-голямата долна граница на

Принцип за непрекъснатост §

1. Всяко непразно множество от реални числа, което е ограничено отгоре, притежава точна граница. Еквивалентно:
2. Всяко непразно множество от реални числа, което е ограничено отдолу, притежава точна долна граница.

Теорема 1 (Кантор).

Нека е дадена една безкрайна редица от крайни, затворени интервали:

Тогава съществува такова число , че за всяко . доказателство

Теорема 2 (гъстота на рационалните и ирационалните числа).

Ако са две произволни реални числа, то съществуват рационално число и ирационално число , такива, че и . доказателство

Синус и Косинус §

§

От Питагоровата теорема следва, че

sin/cos на ъгли, допълващи се до 90 градуса §

За произволни числа и са в сила равенствата:

Ако , то .

Графика на функция §

Определение 1.

Множеството от точки се нарича графика на функцията .

Определение 2.

Множеството от точки се нарича графика на функцията .

Определение 3.

Функция ще наричаме наредената тройка , където и са числови множества, а е правило, съпоставящо на всяко число от единствено число от , като на всяко число от е съпоставено някакво число от . наричаме дефиниционна област на . наричаме множество от значения.

Определение 4.

Графика на функцията наричаме множеството от наредени двойки числа .

Обратна функция §

Определение

е обратима, когато следва .

Например функцията e обратима, защото .

Но не е обратима, защото , но .

Определение

Обратна функция на функцията се нарича функцията , която , ако .

Твърдение 1.

Нека е обратима функция с дефиниционна област и множество от значения . Тогава тя има обратна функция с дефиниционна област и множество от значения и са в сила равенствата:

Равенствата се наричат формули за съкращения.

Лекция №3 §

Граница на числова редица §

Определение I.

Числото се нарича граница на редицата , когато за всяко съществува такова число , че за всяко естествено число е изпълнено . Означаваме .

Определение II.

Числото се нарича граница на редицата , когато за всяко извън интервала има най-много краен брой членове на .

Числовата редица се нарича сходяща, когато притежава граница.

Пример 1. Числовата редица е сходяща с граница . (колкото повече увеличаваме , толкова по-малка е стойността на елемент от редицата)

Решение: Нека . Определяме . Тогава е изпълнено