Info

Записки от лекциите по “GENB045 Математически анализ”, водени от проф. д-р Марин Маринов.

Преговор

, когато е най-малката горна граница на - точна горна граница (супремум) еквивалетно за

Принцип за непрекъснатост: Непразно множество от реални числа, което е ограничено отгоре, притежава точна горна граница.

Теорема 1 (Кантор) Нека е дадена безкрайна редица крайни, затворени интервали . Тогава съществува такова число , че , за всяко .

Теорема 2 (гъстота на рационалните и ирационалните числа) Ако са две произволни реални числа, то съществува рационално число и ирационално число , такива, че и .

Логаритми

Основни елементарни функции

иимати

030456090120135150180
10--1
010
01--10
-10-1-

Свойства и равенства:

Допълнителни тригонометрични функции:

Периодичност: и

Обратни функции

Обратна функция на се нарича функцията , която , ако , .

Една функция е обратима, когато от следва .

примери: е обратима, но - не е, т.к. , но .

Твърдение 1: Нека е обратима функция с дефиниционна област и множество от значения . Тогава тя има обратна функция с дефиниционна област и множество от значния и са в сила равенствата:

Твърдение 2: Ако е строго монотонна функция, то тя е обратима.

Взаимно обратими функции

бележка: при обратната функция и си “сменят” местата

Граници

Числови редици

Безкрайна числова редица се нарича множеството от реални числа, съпоставени по някакво правило на естествените числа от

  • числото съпоставено на естественото число , се нарича -ти (общ) член на редицата, а - негов номер
  • членовете на безкрайна числова редица записваме във вида

Основни граници

Теорема 1

Неравенства:

Свойства на границите

Непрекъснати функции

Непрекъснатост

Казваме, че е непрекъсната функция в точката , ако за всяко съществува такова , че за всяко , удовлетворяващо , е изпълнено .

Функция е непрекъсната, ако произволно малка промяна в нейната стойност може да бъде осигурена чрез ограничаване на нейния аргумент до достатъчно малки промени. 1

За да бъде една функция непрекъсната в точка, тя трябва да бъде дефинирана в тази точка, нейната граница трябва да съществува в точката и стойността на функцията в тази точка трябва да е равна на стойността на границата в тази точка.2

Локални свойства

@TODO: Допълни от лекция №8.

Производни

Нека е определена в интервала и

  • се нарича нарастване на аргумента
  • се нарича нарастване на функцията в т
  • се нарича диференчно частно

Производна на функция

Производна на функцията в точката ще наричаме границата (ако тя съществува). Означения:

За да има производна функцията трябва да е непрекъсната в точката да съществува граница.

пример:

Таблични производни

Основни правила

при условие, че съществуват и

Ако и има за , то

Допирателна в точка

Нормала в точка

Производни на функции зададени с параметър

Нека и , тогава

кato e производната на , a е производната на .

Определяне на стойностите на и , така че да има производна

@TODO: Допълни от лекция, с примери.

Приложения на производни

Критични точки

Намираме производната на и я приравняваме към . Налагаме корените на уравнението на числова ос и избираме три числа за всеки интервал.

пример:

Последна стъпка от наимране на критични точки

Екстрема на затворен интервал

  • екстрема не може да е - endpoint на интервала
  • намираме критичните точки попадащи в интервала
  • използваме функцията, за да намерим y-кординатата на екстремумите
  • ако - критичните точки са endpoints на интервала

Изпъкналост и инфлексни точки

  • точка на инфекция се намира между екстремумите
  • намира се също като критичните точки, но се ипозлва

пример:

Точка на инфлекция:

Ако има:

  • е нарастваща, а е положителна - изпъкнала
  • е намаляща, а е отрицателан - вдлъбната
  • - точка на инфлекция (смяна на изпъкналост/вдлъбнатост)

Правило на Лопитал

Правилото на Лопитал може да се използва за намиране на граници, когато метода “заместване” не е приложим (напр. знаменателя е 0).

Интеграл

Неопределен интеграл

Функцията наричаме примитивна на функцията върху интервала , ако за всяко е в сила .

Множеството от всички примитивни на функцията върху интервала се нарича неопределен интеграл от функцията върху .

Произволна примитивна на функцията ще означаваме с .

пример 1:

Функцията sin(x) е примитивна на функцията cos(x), защото

Теорема 1. Нека е примитивна на върху интервала . Тогава са в сила следните твърдения:

  1. Ако